3-facial Colouring of Plane Graphs

A plane graph is l-facially k-colourable if its vertices can be coloured with k colours such that any two distinct vertices on a facial segment of length at most l are coloured differently. We prove that every plane graph is 3-facially 11-colourable. As a consequence, we derive that every 2-connected plane graph with maximum face-size at most 7 is cyclically 11-colourable. These two bounds are for one off from those that are proposed by the (3l+ 1)-Conjecture and the Cyclic Conjecture. Key-words: facial colouring, cyclic colouring, planar graphs ∗ MASCOTTE, I3S (CNRS–UNSA) – INRIA, 2004 Route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex, France. E-mails: {fhavet,sereni}@sophia.inria.fr † Department of Mathematics, University of Ljubljana, Jedranska 19, 1111 Ljubljana, Slovenia. Supported in part by Ministry of Science and Technology of Slovenia, Research Program P1-0297. E-mail: [email protected] Coloration 3-faciale des graphes planaires Résumé : Un graphe planaire est l-facialement k-colorable s’il existe une coloration de ses sommets avec k couleurs telle que les sommets reliés par un chemin facial de longueur au plus l soient colorés différemment. Nous démontrons que tout graphe planaire est 3-facialement 11-colorable. Par conséquent, tout graphe planaire 2-connexe dont toutes les faces ont taille au plus 7 est cycliquement 11-colorable. Ces deux bornes sont à une couleur près celles proposées par la conjecture 3l+1 et la conjecture cyclique. Mots-clés : coloration faciale, coloration cyclique, graphes planaires 3-facial colouring of plane graphs 3